Topología final

Topología final o imagen

Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico, $Y$ un conjunto y $p:X\to Y$ una aplicación. Definimos en $Y$:

Se cumple que $\mathcal{T}(p)$ es una topología en $Y$ que llamaremos topología final o imagen de $p$.

Propiedades

1. $\mathcal{T}(p)$ hace a $p$ continua y es la topología más fina que lo hace.
2. . Sea $g:(Y,\mathcal{T}(p))\to (Z,{\mathcal{T}}^{″})$ una aplicación. $g$ es continua si y solo si $g\circ p$ es continua
3. . Los cerrados de $\mathcal{T}(p)$ son $\{C\subset Y\mid p^{-1}(C)\text{ es cerrado en }\mathcal{T}\}$.